Question

【題目】如圖．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B．

（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點B的坐標(biāo)；
（2）在x軸的正半軸上是否存在點P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（4，0）代入二次函數(shù)有：

0=﹣16+4b+3

得：b=

所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=﹣x2+ x+3．

當(dāng)x=0時，y=3

∴點B的坐標(biāo)為（0，3）

（2）

解：如圖：

作AB的垂直平分線交x軸于點P，連接BP，

則：BP=AP

設(shè)BP=AP=x，則OP=4﹣x，

在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2

即：x2=32+（4﹣x）2

解得：x=

∴OP=4﹣ =

所以點P的坐標(biāo)為：（ ，0）

綜上可得點P的坐標(biāo)為（ ，0）．

【解析】（1）把點A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，求出b的值，確定二次函數(shù)關(guān)系式，把x=0代入二次函數(shù)求出點B的坐標(biāo)．（2）分情況討論，①當(dāng)BP=AP時，②當(dāng)AB=AP時，分別求出即可得出答案．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．