Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），直線y=kx﹣3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求k的值既拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果P是線段BC上一點(diǎn)，設(shè)△ABP、△APC的面積分別為S△ABP、S△APC，且S△ABP：S△APC=2：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)⊙Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運(yùn)動，則在運(yùn)動過程中是否存在⊙O與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由，并探究：若設(shè)⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運(yùn)動，則當(dāng)r取何值時，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x﹣3；（2）P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（，﹣）；（3）①Q(mào)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，8）；

②存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切，圓心Q的坐標(biāo)為（1，0），（﹣1，8），（2+，﹣1），（2﹣，﹣1）；

③當(dāng)r=時，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)面積的比，可得PB∶PC的值，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PD的長，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)圓與坐標(biāo)軸相切，可得x或y的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得Q點(diǎn)坐標(biāo).

（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx﹣3，得3k﹣3=0，解得k=1；

直線的解析式為y=x﹣3，當(dāng)x=0時，y=﹣3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），

將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得b=4，c=﹣3，

拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3；

（2）作PD⊥AB于D點(diǎn)，如圖：

由S△ABP：S△APC=2：3，得PB：PC=2：3，PB：BC=2：5．

由△PBD∽△COB，得=，解得DP=，

解得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，當(dāng)y=﹣時，x﹣3=﹣，解得x=，

得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（，﹣）；

（3）設(shè)Q（x，y），

①當(dāng)⊙Q與y軸相切時，有|x|=1，即x=±1．

當(dāng)x=1時，y=﹣x2+4x﹣3=0，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），

當(dāng)x=﹣1時，y=﹣x2+4x﹣3=﹣8，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，8）；

②當(dāng)⊙Q與x軸相切時，有|y|=1，即y=±1．

當(dāng)y=1時，1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）；

當(dāng)y=﹣1時，﹣1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q（2+，﹣1），（2﹣，﹣1），

綜上所述：存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切，圓心Q的坐標(biāo)為（1，0），（﹣1，8），（2+，﹣1），（2﹣，﹣1）；

③當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切時，有|x|=|y|．

當(dāng)y=x時，﹣x2+4x﹣3=x，此方程無解；

當(dāng)y=﹣x時，﹣x2+4x﹣3=﹣x，解得x=，當(dāng)r=時，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切，

綜上所述：當(dāng)r=時，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切．