Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC2=AB·AD，我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．

（1）如圖2，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，則∠DAB=_________．

（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；

（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的長?

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】試題分析：(1)、根據“可分四邊形”和“可分角”的定義得出答案；(2)、根據角平分線的性質得出∠DAC=∠CAB=30°，∠DCA=150°-∠ACB，然后根據角度之間的關系得出∠ADC=∠ACB，從而說明△ACD和△ABC相似，從而得出結論；(3)、根據“可分四邊形”和“可分角”的性質得出∠DAC=∠CAB， ，從而說明△ACD和△ABC相似，根據相似得出∠ACB=∠D=90°，然后根據勾股定理求出AB的長度，結合得出AD的長度.

試題解析：（1）

（2）∵AC平分∠DAB，∠DAB=60° ∴∠DAC=∠CAB=30° ∵∠DCB=150°

∴∠DCA=150°-∠ACB

在△ADC中，∠ADC=180°- ∠DAC- ∠DCA =180°-30°-（150°-∠ACB）=∠ACB

∴△ACD∽△ABC ∴ ∴， 即證四邊形ABCD為“可分四邊形”

（3）∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”∴AC平分∠DAB，

即∠DAC=∠CAB， ∴△ACD∽△ABC ∴∠ACB=∠D=90°

在Rt△ACB中AB= ∵ ∴AD=