Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且BE=CF．求證：
（1）AD是△ABC的角平分線；
（2）AE=AF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是BC的中點，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BED和△CFD都是直角三角形，

在Rt△BED與Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∴AD是△ABC的角平分線

（2）證明：∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵BE=CF，

∴AE=AF

【解析】（1）根據HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，根據全等三角形的性質可得DE=DF，再根據角平分線的判定即可求解；（2）根據全等三角形的性質可得∠B=∠C，根據等角對等邊可得AB=AC，再根據線段的和差求解即可．