Question

【題目】如圖所示，已知等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，點D、E、F分別在BC、AC、AB上，猜想：PD+PE+PF等于多少，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】PD+PE+PF=a．理由見解析.

【解析】

延長EP交AB于G，延長FP交BC于H，然后證明△PFG和△PDH是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出PF=PG，PD=DH，再證明四邊形BDPG和四邊形CEPH是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得PG=BD，PE=CH，從而求出PD+PE+PF=BC．

解：PD+PE+PF=a．理由如下：

如圖，延長EP交AB于G，延長FP交BC于H，

∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等邊三角形，

∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，

∴△PFG是等邊三角形，

同理可得△PDH是等邊三角形，

∴PF=PG，PD=DH，

又∵PD∥AB，PE∥BC，

∴四邊形BDPG是平行四邊形，

∴PG=BD，

∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a．