Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連接DE，設OD＝m．

(1)問題發現

如圖1，△CDE的形狀是　 　三角形．

(2)探究證明

如圖2，當6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．

(3)解決問題

是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)等邊；(2)存在，當6＜t＜10時，△BDE的最小周長2+4；(3)當m＝2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋轉的性質得到∠DCE＝60°，DC＝EC，即可得到結論；

（2）當6＜m＜10時，由旋轉的性質得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根據等邊三角形的性質得到DE＝CD，由垂線段最短得到當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結論；

（3）存在，①當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形，

②當0≤m＜6時，由旋轉的性質得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEB＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2＝m

③當6＜m＜10時，此時不存在；

④當m＞10時，由旋轉的性質得到∠DBE＝60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m＝14．

(1)∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等邊三角形；

故答案為：等邊；

(2)存在，當6＜t＜10時，

由旋轉的性質得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，

由(1)知，△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD+4，

由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，

此時，

∴△BDE的最小周長

(3)存在，①∵當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形，

∴當點D與點B重合時，不符合題意，

②當0≤m＜6時，由旋轉可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED＝90°，

由(1)可知，△CDE是等邊三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠CEB＝30°，

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，

∴m＝2；

③當6＜m＜10時，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此時不存在；

④當m＞10時，由旋轉的性質可知，∠DBE＝60°，

又由(1)知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE＝90°，

從而∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14，

∴m＝14，

綜上所述：當m＝2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．