Question

【題目】如圖，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），動(dòng)點(diǎn)D以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)向y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)F

（1）求∠OAB度數(shù)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)二次函數(shù)解析式；

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使△AGF為直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB＝60°；（2）t＝或t＝4，四邊形ADEF為菱形，；（3）存在，t＝，使△AGF為直角三角形，見解析.

【解析】

（1）在Rt△BOA中，OA＝2，OB＝2，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出tan∠OAB的值，進(jìn)而得出∠OAB的度數(shù)；

（2）證明DE∥AB，可得四邊形ADEF為平行四邊形，當(dāng)AD＝DE時(shí)，四邊形ADEF為菱形，用t表示出AD，DE的長(zhǎng)，解方程即可得出t的值，再設(shè)頂點(diǎn)式可求得此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（3）由題意可得∠GFA＝∠BAO＝60°，∠FGA≠90°，所以使△AGF為直角三角形，只能是∠FAG＝90°，用t分別表示出AF，FG的長(zhǎng)，根據(jù)FG＝2AF，即可得出t的值．

解：（1）∵直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），∠BOA＝90°，

∴OA＝2，OB＝2，

∴tan∠OAB＝，

∴∠OAB＝60°；

（2）∵AD＝t，BE＝tm

∴，

∴DE∥AB，

∴∠EDO＝∠BAO＝60°，

∵過點(diǎn)E作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)F，

∴四邊形ADEF為平行四邊形，

當(dāng)AD＝DE時(shí)，四邊形ADEF為菱形，

∵OD＝2﹣t或OD＝t﹣2，DE＝2OD，

∴DE＝4﹣2t或DE＝2t﹣4，

∴t＝4﹣2t或t＝2t﹣4，

解得：t＝或t＝4，

當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，），

設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點(diǎn)E坐標(biāo)代入，可得a＝，

∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣2）2；

當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，），

設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點(diǎn)E坐標(biāo)代入，可得a＝，

∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣2）2；

（3）∵EG∥OA，

∴∠GFA＝∠BAO＝60°，

∵G在二次函數(shù)圖象上，

∴∠FGA≠90°，

∴使△AGF為直角三角形，只能是∠FAG＝90°，

由對(duì)稱性可得，EG＝4，

∵四邊形ADEF為平行四邊形，

∴EF＝AD＝t，AF＝DE＝2（2﹣t），

∵FG＝2AF，

∴4﹣t＝4（2﹣t），

解得：t＝，

∴存在實(shí)數(shù)t＝，使△AGF為直角三角形．