Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上，連接BE、CE.

(1)求證：BE=CE

(2)如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF ⊥AC，垂足為F，原題設其它條件不變．求證：∠CAD=∠CBF

(3)在(2)的條件下，若∠BAC=45，判斷△CFE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：（1）由條件證明△ABE≌△ACE即可；

（2）利用垂直的定義可求得∠CAD+∠C=∠CBF+∠C=90°，可證得結論；

（3）由條件可證明△AEF≌△BCF，可得AF=BF，可得出結論．

解：(1)∵AB=AC，D是BC的中點

∴∠BAE=∠CAE

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴BE=CE

(2)∵AB=AC，點D是BC的中點

∴AD⊥BC

∴∠CAD+∠C=90°

∵BF⊥AC

∴∠CBF+∠C=90°

圖一 圖二

∴∠CAD=∠CBF

(3)∵∠BAC=45°，BF⊥AF

∴△ABF為等腰直角三角形

∴AF=BF

在△AEF和△BCF中，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

∴EF=CF

∵∠CFE=90°

∴△CFE為等腰直角三角形.