Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直徑AE交BC于點F，點P在BC的延長線上，∠CAP=∠B。

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）求證：PCPB=PDPF。

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）、連接EC，根據∠CAP=∠B得出∠E=∠B=∠CAP，根據直徑得出∠ECA=90°，從而說明∠EAP=90°，得出答案；（2）、根據∠P=∠P，∠CAP=∠B得出△PAC∽△PBC，從而得到PA2=PBPC，根據∠P=∠P，∠ADP=∠FAP得出△ADP∽△FAP，從而說明AP2=DPPF，根據兩個等式得出答案.

試題解析：（1）、連接EC，

∵∠CAP=∠B，

∴∠E=∠B=∠CAP，

∵⊙O的直徑AE，

∴∠ECA=90°，

∴∠E+∠EAC=90°，

∴∠EAC+∠CAP=90°，

∴∠EAP=90°，

∴PA是⊙O的切線；

（2）、∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，

∴△PAC∽△PBC，

∴，

∴PA2=PBPC，

∵∠P=∠P，∠ADP=∠FAP，

∴△ADP∽△FAP，

∴，

∴AP2=DPPF，

∴PCPB=PDPF．