Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，交射線AC于點G，連接BE．

（1）如圖1所示，當點D在線段BC上時，求證：四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）如圖2所示，當點D在BC的延長線上時，（1）中的結論是否成立？并請說明理由；

（3）當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論仍成立，理由見解析；（3）當點D在BC的延長線上，CD=BC時，四邊形BCGE是菱形，理由見解析．

【解析】

（1）利用SAS定理證明△AEB≌△ADC，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠ACB=60°，得到BE∥CG，根據平行四邊形的判定定理證明結論；
（2）仿照（1）的證明方法解答；
（3）分點D在BC上、點D在BC的延長線上兩種情況，根據菱形的判定定理解答．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

∵△ADE是等邊三角形，

∴AE=AD，∠EAD=60°，

∴∠EAB=∠DAC，

在△AEB與△ADC中，

∵，

∴△AEB≌△ADC(SAS)，

∴∠ABE=∠ACB=60°，∠EBC+∠ACB=∠ABE+∠ABC+∠ACB=180°，

∴BE∥CG，

∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）解：（1）中的結論仍成立，

理由如下：由（1）可知，△ABE≌△ACD，

∴∠BEA=∠CDA．

∵EG∥BC，

∴∠G=∠ACB=60°，∠GED=∠BDE，∴∠BEG+∠G=∠BEA+∠AED+∠GED+∠G=∠AED+(∠CDA+∠BDE)+∠G=180°，∴BE∥CG，

又∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（3）解：當點D在BC上時，由（2）可知，△ABE≌△ACD，

∴BE=CD．

∵BE=CD＜BC，∴四邊形BCGE不是菱形，

當點D在BC的延長線上，CD=BC時，四邊形BCGE是菱形，

由（2）可知，△ABE≌△ACD，四邊形BCGE是平行四邊形，

∴BE=CD=BC時，四邊形BCGE是菱形．