Question

【題目】如圖，任意四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O點，過各頂點分別作對角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個四邊形EFGH．試想當四邊形ABCD的形狀發生改變時，四邊形EFGH的形狀會有哪些變化？完成以下題目：

(1)①當ABCD為任意四邊形時，四邊形EFGH為___________；

②當四邊形ABCD為矩形時，四邊形EFGH為___________；

③當四邊形ABCD為菱形時，四邊形EFGH為___________；

④當四邊形ABCD為正方形時，四邊形EFGH為___________；

(2)請對(1)中①③你所寫的結論進行證明

Answer 1

【答案】（1）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；（2）證明見解析

【解析】

（1）①根據平行于同一條直線的兩直線平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根據平行四邊形的定義即可求出結論；

②根據平行四邊形的性質可得EH=AC，EF=BD，然后根據矩形的性質可得AC=BD，然后根據菱形的定義即可求出結論；

③根據菱形的性質可得AC⊥BD，從而證出EF⊥EH，然后根據矩形的定義即可求出結論；

④根據平行四邊形的性質和正方形的性質可得：EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD，從而得出EH=EF，EF⊥EH，然后根據正方形的定義即可得出結論；

（2）根據平行于同一條直線的兩直線平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根據平行四邊形的定義即可證出①；根據菱形的性質可得AC⊥BD，從而證出EF⊥EH，然后根據矩形的定義即可證出③．

解：（1）①由題意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四邊形EFGH、四邊形EACH和四邊形EFBD都為平行四邊形

故答案為：平行四邊形；

②由①知四邊形EFGH、四邊形EACH和四邊形EFBD都為平行四邊形

∴EH=AC，EF=BD

∵四邊形ABCD為矩形

∴AC=BD

∴EH=EF

∴四邊形EFGH為菱形

故答案為：菱形；

③∵四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形

故答案為：矩形；

④由①知四邊形EFGH為平行四邊形，EF∥BD，EH∥AC，四邊形ABCD為正方形

∴EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD

∴EH=EF，EF⊥EH

∴四邊形EFGH為正方形

故答案為：正方形；

（2）①證明如下：

由題意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

③證明如下：

∵四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形