Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點D為三角形內一點，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度數；
（2）求證：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的長為1，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°．

又∵∠ACD=∠DAB，

∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，

∴∠CDA=135°

同理可得∠ADB=135°

∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°

（2）證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，

∴△DCA∽△DAB

（3）解：∵△DCA∽△DAB，

∴ = = = ，

又∵CD=1，

∴AD= ，DB=2．

又∵∠CDB=90°，

∴BC= = = ，

在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，

∴AB= = ．

【解析】（1）只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問題．（2）根據兩角對應相等兩三角形相似即可判定．（3）由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2．根據BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．