Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB=8．

（1）利用尺規(guī)，作∠CAB的平分線，交⊙O于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，連接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，OD交BC于點E，求由線段ED，BE， 所圍成區(qū)域的面積．（其中 表示劣弧，結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示，AP即為所求的∠CAB的平分線

（2）解：如圖2所示：

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC，

又∵∠ADC=∠B，

∴∠CAD=∠B，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=∠B，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°

（3）解：由（2）得：∠CAD=∠BAD，∠DAB=30°，

又∵∠DOB=2∠DAB，

∴∠BOD=60°，

∴∠OEB=90°，

在Rt△OEB中，OB= AB=4，

∴OE= OB=2，

∴BE= = =2 ，

∴△OEB的面積= OEBE= ×2×2 =2 ，扇形BOD的面積= = ，

∴線段ED，BE， 所圍成區(qū)域的面積= ﹣2

【解析】（1）由角平分線的基本作圖即可得出結果；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分線得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度數(shù)；（3）證出∠OEB=90°，在Rt△OEB中，求出OE= OB=2，由勾股定理求出BE，再由三角形的面積公式和扇形面積公式求出△OEB的面積= OEBE=2 ，扇形BOD的面積═ ，所求圖形的面積=扇形面積﹣△OEB的面積，即可得出結果．本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積公式等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．