Question

【題目】半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上．

（1）過點B作的一條切線BE，E為切點．

①填空：如圖1，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數是 ；

②如圖2，當E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；

（1）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC.與OF重合時結束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍.

Answer 1

【答案】（1）①30°；②OA=-1；（2）≤S扇形MON≤π．

【解析】

試題分析：①根據切線的性質以及直角三角形的性質得出∠EBA的度數即可；②利用切線的性質以及矩形的性質和相似三角形的判定和性質得出,進而求出OA即可；

（2）設∠MON=n°，得出S扇形MON=n,進而利用函數增減性分析①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，②當MN=DC=2時，MN最小，分別求出即可．

試題解析：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，當點A在⊙O上時，過點B作的一條切線BE，E為切點，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度數是：30°；

②如圖2，∵直線l與⊙O相切于點F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四邊形OFDA為平行四邊形，∵∠OFD=90°，∴平行四邊形OFDA為矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三點在同一條直線上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠OAE，

∴△EOA∽△BOE，∴，∴OE2=OAOB，解得：OA=-1±，∵OA＞0，∴OA=-1；

（2）如圖3，設∠MON=n°，

S扇形MON=（cm2）， S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時，S扇形MON最大，當∠MON取最小值時，S扇形MON最小，過O點作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK=，∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，

∴當MN最大時∠MON最大，當MN最小時∠MON最小，

①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），

②當MN=DC=2時，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=（cm2）， ∴≤S扇形MON≤π．