Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2，3)、B(6，3)，連結AB. 如果點P
在直線y＝x－1上，且點P到直線AB的距離小于1，那么稱點P是線段AB的“鄰近點”．
（1）判斷點Ｃ(， ) 是否是線段AB的“鄰近點”，并說明理由；
（2）若點Q (m，n)是線段AB的“鄰近點”，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）是，理由見解析（2）3＜m＜5

解：（1）點Ｃ(，) 是線段AB的“鄰近點”。理由如下：
∵－1＝，∴點Ｃ(，)在直線y＝x－1上.。
∵點A的縱坐標與點B的縱坐標相同，∴ AB∥x軸。
∴Ｃ(，) 到線段AB的距離是3－＝。
∵＜1，∴Ｃ(，)是線段AB的“鄰近點”。
（2）∵點Q(m，n)是線段AB的“鄰近點”，∴點Q(m，n)在直線y＝x－1上。
∴ n＝m－1。
① 當m≥4時， n＝m－1≥3。
又AB∥x軸，∴此時點Q(m，n)到線段AB的距離是n－3。
∴0≤n－3＜1。∴4≤m＜5。
② 當m＜4時， n＝m－1＜3。
又AB∥x軸，∴ 此時點Q(m，n)到線段AB的距離是3－n。
∴0≤3－n＜1。∴3＜m＜4。
綜上所述， 3＜m＜5。
（1）驗證點Ｃ(，)滿足“鄰近點”的條件即可。
（2）分m≥4和m＜4討論即可