Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形．如圖1，□ABCD中，若AB＝1，BC＝2，則□ABCD為1階準菱形．

（1）判斷與推理：

①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是 階準菱形；

②小明為了剪去一個菱形，進行如下操作：如圖2，把□ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABEF是菱形．

（2）操作、探究與計算：

①已知□ABCD是鄰邊長分別為1，a（a＞1），且是3階準菱形，請畫出□ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；

②已知□ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a＝6b＋r，b＝5r（r＞0），則□ABCD

是 階準菱形．

Answer 1

【答案】（1）①2；②見解析（2）①見解析；②10．理由：

②因為a＝6b＋r，b＝5r，所以a=6×5r+r=31r，b=5r，如圖所示，平行四邊形ABCD是10階準菱形.

【解析】整體分析：

（1）①由“準菱形”的定義回答；②由平行線+角平分線的結構證明△ABE是等腰三角形；（2）①由“準菱形”的定義及菱形的判定畫圖；②找出a與b的數量關系，畫出圖形.

解：（1）①2；

②由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形；

（2）①如圖所示：

②因為a＝6b＋r，b＝5r，所以a=6×5r+r=31r，b=5r，如圖所示，平行四邊形ABCD是10階準菱形.