Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交于點F，在直線AB上有一點E，連接ED，且有ED=EF．

（1）如圖1，求證：ED為⊙O的切線；

（2）如圖2，直線ED與切線AG相交于G，且OF=1，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED為⊙O的切線；

（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，結合（1）的結論根據勾股定理可求出ED、EO的長度，結合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長度，根據切線的性質可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據相似三角形的性質即可得出GA的長度．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖1所示．

∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．

∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．

∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED為⊙O的切線．

（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，如圖2所示．

由（1）可知△EDO為直角三角形，設ED=EF=a，EO=EF+FO=a+1，由勾股定理得：EO2=ED2+DO2，即（a+1）2=a2+32，解得：a=4，即ED=4，EO=5．

∵sin∠EOD=，cos∠EOD=，∴DM=ODsin∠EOD=3×=，MO=ODcos∠EOD=3×=，∴EM=EO﹣MO=5﹣=，EA=EO+OA=5+3=8．

∵GA切⊙O于點A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴，∴GA===6．