Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的關系，并證明你的結論．

（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） AE⊥GC ，AE=GC ；（2）成立，證明詳見解析

【解析】

（1）觀察圖形，AE、CG的位置關系可能是垂直，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，則∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）題（1）的結論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由圖知∠AEB＝∠CEH＝90°－∠6，即∠7＋∠CEH＝90°，由此得證．

解：（1）AE⊥GC，理由如下：

如圖1，延長GC交AE于點H，

在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴∠1＝∠2；

∵∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＋∠3＝90°，

∴∠AHG＝180°－（∠1＋∠3）＝180°－90°＝90°，

∴AE⊥GC．

（2）成立，理由如下：

如圖2，延長AE和GC相交于點H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，

∴∠1＝∠2＝90°－∠3；

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴∠5＝∠4；

又∵∠5＋∠6＝90°，∠4＋∠7＝180°－∠DCE＝180°－90°＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠6＋∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，

∴∠CEH＋∠7＝90°，

∴∠EHC＝90°，

∴AE⊥GC．