Question

某商店計劃購進某型號的螺絲、螺母進行銷售，有關信息如下表：

	原進價（元/個）	零售價（元/個）	成套售價（元/套）
螺絲	a	1.0	2.0
螺母	a-0.3	0.6	2.0

（1）已知用50元購進螺絲的數量與用20元購進螺母的數量相同，求表中a的值；
（2）若該店購進螺母數量是螺絲數量的3倍還多200個，且兩種配件的總量不超過3000個．
①該店計劃將一半的螺絲配套（一個螺絲和兩個螺母配成一套）銷售，其余螺絲、螺母以零售方式銷售．請問：怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（用含a的代數式表示）
②由于原材料價格上漲，每個螺絲和螺母的進價都上漲了0.1元．按照①中的最佳進貨方案，在銷售價不變的情況下，全部售出后，所得利潤比①少了260元，請問本次成套的銷售量為多少？

Answer 1

（1）依題意得

50

a

=

20

a-0.3

（2分）a=0.5（3分）
經檢驗：a=0.5是原方程的解，且符合題意．（4分）

（2）①設購進螺絲x個，則購進螺母（3x+200）個，依題意得
x+（3x+200）≤3000，
x≤700（5分）
則成套的賣出時利潤為：

1

2

x[2-a-2（a-0.3）]元；單個螺絲的利潤為：

1

2

x（1-a）；單個螺母的利潤為：（3x+200-x）[0.6-（a-0.3）]，
設利潤為y元，則y=

1

2

x[2-a-2(a-0.3)]+

1

2

x(1-a)+(3x+200-x)[0.6-(a-0.3)]，
=（3.6-4a）x+（180-200a）（6分）
解法一：
由已知得

a＜1 a-0.3＜0.6

解得a＜0.9
∵當a＜0.9時，k=3.6-4a＞0，
∴函數y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y隨x增大而增大．
∴當x=700時，y_最大=2700-3000a（7分）
解法二：
分兩種情況討論：
當3.6-4a＞0，即a＜0.9時，函數y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y隨x增大而增大．
∴當x=700時，y_最大=2700-3000a（7分）
當3.6-4a≤0時，a≥0.9
∵根據成套銷售價應高于成本價可得：a+2（a-0.3）≤2，即a≤

13

15

∴此時不符合題意，舍去（8分）

②設成套的銷售量為m套，則零售的螺絲為（700-m）個，零售的螺母為（2300-2m）個，依題意得：
m[2-a-2（a-0.3）-0.3]+（700-m）（1-a-0.1）+（2300-2m）[0.6-（a-0.3）-0.1]=-0.2m-3000a+2470（10分）
故：-0.2m-3000a+2470=2700-3000a-260（11分）
解得：m=150（12分）
故成套的銷售量為150套．