Question

【題目】直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為射線ON，OM上兩點(diǎn)，且滿足∠ACN=∠ODB=45°．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，且AO=OB，請(qǐng)直接寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜a＜45），如圖2所示，若AO=OB，（1）中的AC與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，若AO=kOB．

①請(qǐng)求出的值；

②若k=，∠AOC=30°，BD=3，請(qǐng)直接寫出OC的長．

Answer 1

【答案】（1）AC=BD；（2）成立；（3）①k；②；

【解析】

（1）先根據(jù)∠BOD和∠BDO的度數(shù)，判斷DB與OB的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系，再得出AO與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

（2）先分別過點(diǎn)A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，通過判定△AOE≌△BOF，得到AE=BF，由∠ACN=∠BDN=45°，得∠AEC=∠BFD=90°，求出AC=AE，BD=BF，得出AC與BD的數(shù)量關(guān)系；

（3）分別過點(diǎn)A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，由△AEO∽△BFO，得，再求出AC=AE，BD=BF，得出AC與BD的比值．在Rt△ACE中，∠ACE=45°，AE=CE=2，在Rt△AOE中，∠AOE=30°，可得OE=AE=2，可得到OC.

解：（1）∵點(diǎn)O和點(diǎn)C重合，

∴AC=OA．∠AON=∠ACN=45°，

∵∠BDO=∠ACN=45°，

∴∠BDO=∠BOD=45°，

∴BD=OB，

∵OA=OB，

∴AC=BD；

（2）成立，理由：如圖2，分別過點(diǎn)A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，

在△AOE和△BOF中，，

∴△AOE≌△BOF，

∴AE=BF，

∵∠ACN=∠BDN=45°，

∴∠AEC=∠BFD=90°，

∴AC=AE，BD=BF，

∴AC=BD；

（3）①如圖3，分別過點(diǎn)A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，

∵∠AOE=∠BOF，

∴△AEO∽△BFO，

∴=k，

∵∠ACN=∠BDN=45°，

∴∠AEC=∠BFD=90°，

∴AC=AE，BD=BF，

∴=k；

②如圖3，由①知， =k，

∵k=，BD=3，

∴AC=2，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，

∴AE=CE=2，

在Rt△AOE中，∠AOE=30°，

∴OE=AE=2，

∴OC=2（﹣1）．