Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 與 軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點B的坐標為（3,0），與 軸交于點C（0,-3），頂點為D。

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標。
（2）聯結AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）點P是x軸上一點，是否存在點P使得△PBD與△CAB相似，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
（4）M是拋物線上一點，點N在 軸，是否存在點N，使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過點B（3，0）C（0，-3）

∴

解得：

∴拋物線解析式為：y= -2x-3；

又∵ y=-2x-3= -4；

∴頂點D的坐標為：D（1，-4）。

（2）

解：作AH⊥BC于點H

∵ -2x-3=0

解得： =-1, =3

∴A(-1,0)

又∵OB=OC,∠B0C=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB==2

（3）

解：作DG⊥OB于點G

∵BG=2,DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

當點P在點B的右側時，∠PBD＞90°,

∴△PBD為鈍角三角形與△CAB不相似

∴點P在點B的左側

∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB

∴

或

∵BD=2

∴BP= 或BP=6

∴P（- ，0）或P（-3，0）

（4）

解：存在；N的坐標為：(2+,0); (2-,0) ; (-3,0)

【解析】（1）把點B與點C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求解，把解析式整理成頂點式即可寫出頂點坐標；（2）首先得出A點坐標，進而得出∠OBC=45°，BC=3 ， 再過點A做AH⊥BC,垂足為H，利用 tan∠ACB=,求出即可；（3）根據平行四邊形對邊平行且相等的性質得出M及N點坐標；檢驗即可得出答案。