Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（3，4），M是BC邊的中點，函數（）的圖象經過點M．

（1）求k的值；

（2）將△ABC繞某個點旋轉180°后得到△DEF（點A，B，C的對應點分別為點D，E，F），且EF在y軸上，點D在函數（）的圖象上，求直線DF的表達式．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）y=2x-1．

【解析】

（1）根據直角三角形的性質和坐標與圖形的特點求得點的坐標，將其代入反比例函數解析式求得的值；

（2）根據旋轉的性質推知：，故其對應邊、角相等：，，，由函數圖象上點的坐標特征得到：，.結合得到，利用待定系數法求得結果.

（1）∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點C的坐標為（3，4），

∴點B的坐標為（3，0），CB=4．

∵M是BC邊的中點，

∴點M的坐標為（3，2）．

∴k=3×2=6．

（2）∵△ABC繞某個點旋轉180°后得到△DEF，

∴△DEF≌△ABC．

∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．

∵點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），

∴AB=2．

∴DE=2．

∵EF在y軸上，

∴點D的橫坐標為2．

當x=2時，y=3．

∴點D的坐標為（2，3）．

∴點E的坐標為（0，3）．

∵EF=BC=4，

∴點F的坐標為（0，-1）．

設直線DF的表達式為y=ax+b，將點D，F的坐標代入，

∴直線DF的表達式為y=2x-1．