Question

【題目】已知二次函數y=kx2+ x+ （k是常數）．
（1）若該函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，試求k的取值范圍；
（2）若點（1，k）在某反比例函數圖象上，要使該反比例函數和二次函數y=kx2+ x+ 都是y隨x的增大而增大，求k應滿足的條件及x的取值范圍；
（3）若拋物線y=kx2+ x+ 與x軸交于A（xA ， 0）、B（xB ， 0）兩點，且xA＜xB ， xA2+xB2=34，若與y軸不平行的直線y=ax+b經過點P（1，3），且與拋物線交于Q1（x1 ， y1）、Q2（x2 ， y2）兩點，試探究 是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=kx2+ x+ 與x軸有兩個不同的交點，

∴ ，

解得k＜ 且k≠0．

（2）

解：設反比例函數解析式為y= ，

∵經過點（1，k），

∴m=k，

∵反比例函數和二次函數y=kx2+ x+ 都是y隨x的增大而增大，

∴k＜0，

x＜﹣ ，即x＜﹣

（3）

解：結論： =1．

理由：令y=0，則有kx2+ x+ =0，

∴xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

∵xA2+xB2=34，

∴（xA+xB）2﹣2xAxB=34，

∴（ ）2﹣ ﹣34=0，

解得k=﹣ 或

由（1）可知k＜ ，

∴k=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設過點P的直線為y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，

∴b=3﹣k，

∴過點P的直線為y=kx+3﹣k，

∵過點P的直線為y=kx+3﹣k與物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點，

∴y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，

由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，

∴x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，

∴ =

=

=

=

=1．

【解析】（1）根據題意k≠0，△＞0，列出不等式組即可解決問題．（2）設反比例函數解析式為y= ，因為經過點（1，k），所以m=k，再根據條件即可確定k的值以及x的范圍．（3）結論： =1．令y=0，則有kx2+ x+ =0，所以xA+xB=﹣ ，xAxB= ，根據xA2+xB2=34，列出方程求出k的值，設過點P的直線為y=kx+3﹣k，
由由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，根據 = ，代入化簡即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．