Question

【題目】如圖，已知直線y=x+4與兩坐標軸分別交于A，B兩點，⊙C的圓心坐標為（2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是 ．

Answer 1

【答案】8﹣2 和8+2
【解析】解：y=x+4，
∵當x=0時，y=4，當y=0時，x=﹣4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的邊BE上的高是OA，
∴△ABE的邊BE上的高是4，
∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
過A作⊙C的兩條切線，如圖，

當在D點時，BE最小，即△ABE面積最小；
當在D′點時，BE最大，即△ABE面積最大；
∵x軸⊥y軸，OC為半徑，
∴EE′是⊙C切線，
∵AD′是⊙C切線，
∴OE′=E′D′，
設E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切線，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4 ，
∴sin∠CAD′= = ，
∴ = ，
解得：x= ，
∴BE′=4+ ，BE=4﹣ ，
∴△ABE的最小值是 ×（4﹣ ）×4=8﹣2 ，
最大值是： ×（4+ ）×4=8+2 ，
所以答案是：8﹣2 和8+2 ．