Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC，CD．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標；
（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內拋物線上一點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），

∴設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+x+4

（2）

解：如圖1，

①點E在直線CD上方的拋物線上，記E′，

連接CE′，過E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，

由（1）知，OC=4，

∵∠ACO=∠E′CF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴ = ，

設線段E′F′=h，則CF′=2h，

∴點E′（2h，h+4）

∵點E′在拋物線上，

∴﹣ （2h）2+2h+4=h+4，

∴h=0（舍）h=

∴E′（1， ），

②點E在直線CD下方的拋物線上，記E，

連接CE，過E作EF⊥CD，垂足為F，

由（1）知，OC=4，

∵∠ACO=∠ECF，

∴tan∠ACO=tan∠ECF，

∴ = ，

設線段EF=h，則CF=2h，

∴點E（2h，4﹣h）

∵點E在拋物線上，

∴﹣ （2h）2+2h+4=4﹣h，

∴h=0（舍）h=

∴E（3， ），

點E的坐標為（1， ），（3， ）

（3）

解：①CM為菱形的邊，如圖2，

在第一象限內取點P′，過點P′作P′N′∥y軸，交BC于N′，過點P′作P′M′∥BC，交y軸于M′，

∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形，

∵四邊形CM′P′N′是菱形，

∴P′M′=P′N′，

過點P′作P′Q′⊥y軸，垂足為Q′，

∵OC=OB，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∴∠P′M′C=45°，

設點P′（m，﹣ m2+m+4），

在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′= m，

∵B（4，0），C（0，4），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，

∵P′N′∥y軸，

∴N′（m，﹣m+4），

∴P′N′=﹣ m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

∴ m=﹣ m2+2m，

∴m=0（舍）或m=4﹣2 ，

菱形CM′P′N′的邊長為 （4﹣2 ）=4 ﹣4．

②CM為菱形的對角線，如圖3，

在第一象限內拋物線上取點P，過點P作PM∥BC，

交y軸于點M，連接CP，過點M作MN∥CP，交BC于N，

∴四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q，

∵四邊形CPMN是菱形，

∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，

∵∠OCB=45°，

∴∠NCQ=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=CQ，

設點P（n，﹣ n2+n+4），

∴CQ=n，OQ=n+4，

∴n+4=﹣ n2+n+4，

∴n=0（舍），

∴此種情況不存在．

∴菱形的邊長為4 ﹣4

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可．（2）分①點E在直線CD上方的拋物線上和②點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數求解即可；（3）分①CM為菱形的邊和②CM為菱形的對角線，用菱形的性質進行計算；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的概念和二次函數的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．