Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG．

（1）如圖①，當∠BAC=∠DCF=90°時，直接寫出AG與DG的位置和數量關系；

（2）如圖②，當∠BAC=∠DCF=60°時，試探究AG與DG的位置和數量關系，

（3）當∠BAC=∠DCF=α時，直接寫出AG與DG的數量關系．

Answer 1

【答案】(1) AG⊥DG，AG=DG;(2) AG⊥DG，AG=DG，證明詳見解析；（3）DG=AGtan.

【解析】

試題分析：（1）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；

（2）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等邊三角形，即可證得AG⊥GD，AG=DG；

（3）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等腰三角形，即可證得DG=AGtan．

試題解析：（1）AG⊥DG，AG=DG，

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ABH=∠ACD=45°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，

∴AG⊥GD，AG=GD；

（2）AG⊥GD，AG=DG；

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60°，

∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=60°；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴tan∠DAG=tan30°=，

∴AG=DG．

（3）DG=AGtan；

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，

∴∠ABC=90°﹣，∠ACD=90°﹣，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=α；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=，

∴tan∠DAG=tan=，

∴DG=AGtan．