Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是x軸上的一動點，且位于AB之間，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，設P點橫坐標為x，△PCE的面積為S，請求出S關于x的解析式，并求△PCE面積的最大值；
（3）點為D（﹣2，0），若點M是線段AC上一動點，是否存在M點，能使△OMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（﹣4，0），B（2，0）分別代入中，得： ，

∴a= ，b=1，

∴這個二次函數解析式為 ，C（0，﹣4）

（2）

解：設P點坐標為（x，0），則BP=2﹣x，S△ABC=

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△BPE∽△BAC，

∴ =（ ）2，即： =（ ）2，

∴ ，

又∵ ，

∴S△PCE=S△BCP﹣S△BPE=2（2﹣x）﹣ = ，

∴x=﹣1時，△PCE面積有最大值為3

（3）

解：存在M點．①如圖，過點D作DM垂直x軸交AC于M，

∵A（﹣4，0），C（﹣4，0），

∴DM=AD=2=DO，

∴M（﹣2，﹣2）；

②如圖，設DO的中垂線交AC于點M，則MD=MO，

由A、C兩點坐標可知AC的解析式為y=﹣x﹣4，

將x=﹣1代入可得y=﹣3，

∴M（﹣1，﹣3）．

綜上所述，點M的坐標為（﹣1，﹣3）或（﹣2，﹣2）

【解析】（1）將A、B兩點坐標代入解析式直接求出a、b即可；（2）設出P點橫坐標，由于PE∥AC，則△BPE和△BAC相似，根據面積比是相似比的平方得出△BPE的面積表達式，用△PCB的面積減去△BPE的面積就是S，再利用配方法求最值即可；（3）分兩種情況討論：①DO=DM；②MD=MO．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的概念的相關知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．