Question

【題目】已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．
（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K．
①求 的值；
②設EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數關系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵EF∥BC，

∴ ，

∴ = ，

即 的值是 ．

②∵EH=x，

∴KD=EH=x，AK=8﹣x，

∵ = ，

∴EF= ，

∴S=EHEF= x（8﹣x）=﹣ +24，

∴當x=4時，S的最大值是24．

（2）解：設正方形的邊長為a，

① 當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時，

，

解得a= ．

②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=12÷2=6，

∴AB=AC= ，

∴AB或AC邊上的高等于：

ADBC÷AB

=8×12÷10

=

∴ ，

解得a= ．

綜上，可得

正方形PQMN的邊長是 或

【解析】（1）①根據EF∥BC，可得 ，所以 ，據此求出 的值是多少即可．②首先根據EH=x，求出AK=8﹣x，再根據 = ，求出EF的值；然后根據矩形的面積公式，求出S與x的函數關系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根據題意，設正方形的邊長為a，分兩種情況：①當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時；②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時；分類討論，求出正方形PQMN的邊長各是多少即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和矩形的性質，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．