Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．

（1）求OA、OB的長．
（2）若點E為x軸正半軸上的點，且S△AOE= ，求經過D、E兩點的直線解析式及經過點D的反比例函數的解析式，并判斷△AOE與△AOD是否相似．
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方程x2﹣7x+12=0，

分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）=0，

可得：x﹣3=0，x﹣4=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3

（2）

解：根據題意，設E（x，0），則S△AOE= ×OA×x= ×4x= ，

解得：x= ，

∴E（ ，0），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點D的坐標是（6，4），

設經過D、E兩點的直線的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴解析式為y= x﹣ ；

設反比例函數解析式為y= ，

把D（6，4）代入得：m=24，

∴反比例函數解析式為y= ；

在△AOE與△DAO中， = = ， = = ，

∴ = ，

又∵∠AOE=∠OAD=90°，

∴△AOE∽△DAO

（3）

解：AO⊥BC，

∴AO平分∠BAC，

分四種情況考慮：

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，

∴點F與B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，

此時點F坐標為（3，8）；

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=﹣ x+4，直線L過（ ，2），且k值為 （平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

∴L解析式為y= x+ ，

聯立直線L與直線AB，得： ，

解得：x=﹣ ，y=﹣ ，

∴F（﹣ ，﹣ ）；

④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，

∵S△ABC= BCOA= ABCN=12，

∴CN= = ，

在△BCN中，BC=6，CN= ，

根據勾股定理得BN= = ，即AN=AB﹣BN=5﹣ = ，

做A關于N的對稱點，記為F，AF=2AN= ，

過F做y軸垂線，垂足為G，FG=AFsin∠BAO= × = ，

∴F（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點有四個：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣ ，﹣ ）；F4（﹣ ， ）．

【解析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度即可；（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．