Question

【題目】已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，∠EDF=90°

（1）如圖1，若E、F分別在AC、BC邊上，猜想AE2、BF2和EF2之間有何等量關系，并證明你的猜想；

（2）若E、F分別在CA、BC的延長線上，請在圖2中畫出相應的圖形，并判斷（1）中的結論是否仍然成立（不作證明）

Answer 1

【答案】（1）結論：AE2+BF2=EF2 ,理由詳見解析;(2) 結論不變, AE2+BF2=EF2,證明詳見解析．

【解析】

（1）結論：AE2+BF2=EF2．如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．首先證明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再證明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解決問題．
（2）結論不變，證明方法類似（1）．

（1）結論：AE2+BF2=EF2 ．

理由：如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，

∴AE2+BF2=EF2 ．

（2）如圖2中，結論不變．AE2+BF2=EF2

理由：延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，

∴AE2+BF2=EF2 ．