Question

【題目】如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．
（1）求證：AG與⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

連接OA，

∵OA=OB，GA=GE

∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE

∵EF⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ABO+∠BEF=90°，

又∵∠BEF=∠GEA，

∴∠GAE=∠BEF，

∴∠BAO+∠GAE=90°，

即AG與⊙O相切

（2）解：∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，

∴BC=10，

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，

∴△BEF∽△BCA，

∴ = =

∴EF=1.8，BF=2.4，

∴0F=0B﹣BF=5﹣2.4=2.6，

∴OE= =

【解析】（1）連接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，進一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC為直徑得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的長，進一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的長即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．