Question

【題目】拋物線C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1）與x軸交于A、B兩點，拋物線C2與拋物線C1關于點A中心對稱，拋物線C3與拋物線C1關于點B中心對稱．若直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，則b的取值或取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】b=-或- 或3

【解析】分析：根據對稱性先求拋物線C2與拋物線C3的解析式，再分兩種情況：

①在y軸右側時，從直線y=﹣x+b與C3相切時到直線過點D時，這些b值符合條件，計算出來即可；

②在y軸的左側，當y=﹣x+b與C1相切時和y=﹣x+b與C2相切時，都與C2有C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，分別計算出b的值．

詳解：拋物線C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1），頂點E（0，﹣1），當y=0時，x=±1，∴A（﹣1，0），B（1，0），當拋物線C2與拋物線C1關于點A中心對稱，∴頂點E關于點A的對稱點E′（﹣2，1），∴拋物線C2的解析式為：y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣4x﹣3，當拋物線C3與拋物線C1關于點B中心對稱，∴頂點E關于點B的對稱點E′′（2，1），∴拋物線C3的解析式為：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．分兩種情況討論：

①當y=﹣x+b過D（3，0）時，b=3，當y=﹣x+b與C3相切時，即與C3有一個公共點，則，﹣x2+4x﹣3=﹣x+b，x2﹣5x+b+3=0，△=25﹣4（b+3）=0，b=，∴當3≤b＜時，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點；

②當y=﹣x+b與C1相切時，即與C1有一個公共點，則，x2﹣1=﹣x+b，x2+x﹣1﹣b=0，△=1﹣4（﹣1﹣b）=0，b=﹣，當y=﹣x+b與C2相切時，即與C2有一個公共點，則，﹣x2﹣4x﹣3=﹣x+b，﹣x2﹣3x﹣3﹣b=0，△=9﹣4×（﹣1）×（﹣3﹣b）=0，b=﹣，∴當b=﹣或﹣時，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點．

綜上所述：當b=﹣或﹣或3≤b＜時，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點．