Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A．過點P（1，m）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B，點C不重合）．連接CB，CP．

（1）當m= 時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當m＞1時，連接CA，當CA⊥CP時，求m的值；
（3）過點P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點E恰好落在坐標軸上？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當m= 時，y=﹣x2+5x；

令y=0，得﹣x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

當x=1時，y=4，

∴B（1，4）．

∵拋物線y=﹣x2+5x的對稱軸為直線x= ，

又∵點B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=3

（2）

解：過點C作CH⊥x軸于點H（如圖）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴ ．

∵拋物線y=﹣x2+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，

又∵B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=2（m﹣1）．

∵B（1，2m﹣1），P（1，m），

∴BP=m﹣1．

又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），

∴H（2m﹣1，0）．

∴AH=1，CH=2m﹣1．

∴ ，

∴m= ；

（3）

解：存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分兩種情況：

①當m＞1時，m=2，相對應的E點坐標是（2，0）或（0，4）；

②當0＜m＜1時，m= ．，相對應的E點坐標是（ ，0）；

∴E點坐標是（2，0）或（0，4）或（ ，0）

【解析】（1）把m= ，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，進而求出BC的長；（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據相似的性質得到： ，再用含有m的代數式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本題要分當m＞1時，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和當0＜m＜1時，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的應用(測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解)．