Question

【題目】如圖1，已知菱形的邊長為6，， 點、分別是邊、上的動點(不與端點重合)，且.

（1）求證: 是等邊三角形；

（2）點、在運動過程中，四邊形的面積是否變化，如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積；

（3）當點在什么位置時，的面積最大，并求出此時面積的最大值；

（4）如圖2，連接分別與邊、交于、，當時，求證:.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形AECF的面積不變.四邊形AECF的面積為；（3）E是BC的中點時△ECF的面積最大，最大面積為；（4）見解析

【解析】

（1）利用證明△ACE和△ADF全等得AE=AF，結合∠EAF=60°，便得△EAF是等邊三角形；

（2）根據△ACE≌△ADF，得四邊形AECF的面積等于△ACD的面積等于菱形ABCD面積的一半；

（3）要使三角形ECF的面積最大，只要等邊三角形AEF的面積最小即AE⊥BC時即可；

（4）將△ADN繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，連接PM．證明MN=PM，∠BPM=90°即可解決問題.

（1）證明：在菱形ABCD中，

∵∠B=60°，

∴△ABC、△ACD是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠CAD=60°，

∴AC=AD，

∵∠EAF=60°，

∴∠CAE=∠DAF，

∵∠ACE=∠D=60°，

∴△ACE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△EAF是等邊三角形；

（2）四邊形AECF的面積不變.

過點A作AG⊥BC于點G.

在Rt△ABG中，∠B=60°，

∴BG=AB=3，

∴AG==，

∴S△ABC=S△ACD==.

由（1）知△ACE≌△ADF，

∴S△ACE=S△ADF，

∴S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF= S△ADF+S△ACF=S△ACD=；

（3）∵S四邊形AECF=S△AEF+S△ECF =，

∴S△AEF最小時S△ECF最大，

∵△AEF是等邊三角形，

∴當AE⊥BC時S△AEF最小，

此時E是BC的中點，AE=，等邊△AEF的EF邊上的高為=，

∴S△AEF==，

∴S△ECF= S四邊形AECF - S△AEF ==；

（4）將△ADN繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，連接PM．

∵∠DAE=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，

∴∠MAN=∠MAP=60°，

∵AM=AM，AN=AP，

∴△MAN≌△MAP（SAS），

∴MN=PM，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ADN=∠ADC=30°，

∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，

∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，

∴∠BPM=90°，

∴BP2+PM2=BM2，

∵BP=DN，PM=MN，

∴DN2+MN2=BM2．