Question

【題目】如圖①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在AE的異側, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.

(1)求證: BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點旋轉到圖②位置時(BD<CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數量關系如何? 請給予證明；

(3)若直線AE繞A點旋轉到圖③位置時(BD>CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數量關系如何? 請直接寫出結果, 不需證明.

(4)根據以上的討論，請用簡潔的語言表達BD與DE,CE的數量關系。

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、BD=DE–CE；證明過程見解析；(3)、BD=DE–CE；(4)、當B,C在AE的同側時，BD=DE–CE；當B,C在AE的異側時，BD=DE+CE.

【解析】

試題分析：(1)、根據垂直得出∠ADB=∠CEA=90°，結合∠BAC=90°得出∠ABD=∠CAE，從而證明出△ABD和△ACE全等，根據全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出答案；(2)、根據第一題同樣的方法得出△ABD和△ACE全等，根據全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出結論；(3)、根據同樣的方法得出結論；(4)、根據前面的結論得出答案.

試題解析：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90°

∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE+CE

(2)、∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE–CE

(3)、BD=DE–CE

(4)、歸納：由（1）（2）（3）可知：當B,C在AE的同側時，BD = DE –CE；當B,C在AE的異側時，∴BD=DE+CE