Question

【題目】一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”.例如：，因為x=y，所以是“和平數(shù)”.

（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是________，最大的“和平數(shù)”是________；

（2）求個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”；

（3）將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個“和平數(shù)”為一組“相關和平數(shù)”。例如：與為一組“相關和平數(shù)”求證：任意的一組“相關和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù).

Answer 1

【答案】（1）1001,9999；（2）這個數(shù)為2754，4848；（3）證明見解析.

【解析】（1）根據(jù)題意即可得到結論；

（2）設這個“和平數(shù)”為，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、當a=2，d=4時，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7，②、當a=4，d=8時，得到c=4則b=8，于是得到結論；

（3）設任意的兩個“相關和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結論．

解：（1）由題意得，最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999，

故答案為：1001，9999；

（2）設這個“和平數(shù)”為，

則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，

∴2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），

①、當a=2，d=4時，2（c+1）=12k，

可知c+1=6k且a+b=c+d，

∴c=5則b=7，

②、當a=4，d=8時，

2（c+2）=12k，

可知c+2=6k且a+b=c+d，

∴c=4則b=8，

綜上所述，這個數(shù)為2754和4848．

（3）設任意的兩個“相關和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），

則+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），

即兩個“相關和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．

“點睛”本題考查了因式分解的應用，正確的理解新概念“和平數(shù)”是解題的關鍵.