Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點．

(1)求證：DE＝DF；

(2)試猜想△DEF是不是等邊三角形？如果是，請加以證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DEF是等邊三角形．理由見解析.

【解析】

(1)由DE和DF都是以BC為斜邊的直角三角形BCF和直角三角形BCE的中線，所以相等；

（2）由等腰三角形性質得∠EDC＝180°－2∠DCE，∠BDF＝180°－2∠ABD，

由平角定義得∠FDE＝180°－∠EDC－∠BDF＝180°－(180°－2∠DCE)－(180°－2∠ABD)＝2(∠DCE＋∠ABD)－180°＝2×(180°－∠A)－180°＝60°，由(1)知DE＝DF，根據等邊三角形判定可得.

(1)證明：在Rt△BFC中，

∵DF為斜邊BC上的中線，

∴DF＝BC.

同理可得DE＝BC，

∴DE＝DF.

(2)解：△DEF是等邊三角形．理由如下：

由(1)知DE＝BC＝CD，

∴∠EDC＝180°－2∠DCE.

同理∠BDF＝180°－2∠ABD，

∴∠FDE＝180°－∠EDC－∠BDF＝180°－(180°－2∠DCE)－(180°－2∠ABD)＝2(∠DCE＋∠ABD)－180°＝2×(180°－∠A)－180°＝60°.

由(1)知DE＝DF，

∴△DEF是等邊三角形．