Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，延長BP至點D，使得AD=AP，當AD⊥AB時，過點D作DE⊥AC于E．

(1)求證：∠CBP=∠ABP;

(2)若AB－BC=4，AC=8．求AB的長度和DE的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）AB=10，DE =4.

【解析】

（1）要證∠CBP=∠ABP，只需證∠BPC=∠BDA即可，而題目告訴AP=AD，結論顯然；

（2）設AB的長為x，則BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x即可求出AB的長度，過點P作PF⊥BA于點F，證明△BCP≌△BFP可求得BF=BC=6，AF=AB-BF=4，證明△PAF≌△ADE，可得DE=AF=4.

(1)∵∠C=90°，

∴∠CBP+∠BPC=90°，

∵DA⊥BA，

∴∠PBA+∠BDA=90°，

∵AD=AP，

∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，

∴∠CBP=∠ABP；

(2)設AB=x，

∵ABBC=4，

∴BC=x4，

∵AC=8，

∴在Rt△ABC中,(x4)2+64=x2，

解得：x=10，

即AB=10，

過點P作PF⊥BA于點F，如圖

在△BCP和△BFP中：

∵

∴△BCP≌△BFP(AAS)，

∴BF=BC=6，

∴AF=4，

∵DE⊥AC，

∴∠EAD+∠ADE=90°=∠PAF+∠EAD，

∴∠PAF=∠ADE，

在△PAF和△ADE中，

∴△PAF≌△ADE(AAS)，

∴DE=AF=4.