Question

【題目】在ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．
（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數．

Answer 1

【答案】證明：（1）如圖1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：連接GC、BG，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF為等腰直角三角形，
∵G為EF中點，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG與△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB為等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
（3）解：延長AB、FG交于H，連接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AHFD為平行四邊形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF為等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四邊形AHFD為菱形
∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD與△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

【解析】（1）根據AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可．
（2）根據∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得．
（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形．
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案