Question

【題目】如圖1所示，已知y= （x＞0）圖象上一點P，PA⊥x軸于點A（a，0），點B坐標為（0，b）（b＞0），動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線AP于點D，交直線MN于點Q連接AQ，取AQ的中點為C．

（1）如圖2，連接BP，求△PAB的面積；
（2）當點Q在線段BD上時，若四邊形BQNC是菱形，面積為2 ，求此時P點的坐標；
（3）當點Q在射線BD上時，且a=3，b=1，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2，連接OP．

S△PAB=S△PAO= xy= ×6=3

（2）

解：如圖3，

∵四邊形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，

∵AB⊥BQ，C是AQ的中點，

∴BC=CQ= AQ，

∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，

在△ABQ和△ANQ中，

，

∴△ABQ≌△ANQ（SAS），

∴∠BAQ=∠NAQ=30°，

∴∠BAO=30°，

∵S菱形BQNC=2 = ×CQ×BN，

令CQ=2t=BQ，則BN=2×（2t× ）=2 t，

∴t=1

∴BQ=2，

∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，

∴AB= BQ=2 ，

∵∠BAO=30°

∴OA= AB=3，

又∵P點在反比例函數y= 的圖象上，

∴P點坐標為（3，2）

（3）

解：∵OB=1，OA=3，

∴AB= ，

易得△AOB∽△DBA，

∴ ，

∴BD=3 ，

①如圖3，當點Q在線段BD上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點，

∴BC= AQ，

∵四邊形BQNC是平行四邊形，

∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，

∴ = ，

∴BQ=CN= BD= ，

∴AQ= =2 ，

∴C四邊形BQNC=2 +2 ；

②如圖4，當點Q在射線BD的延長線上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點，

∴BC=CQ= AQ，

∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，

∴△BND∽△QAD

∴ = ，

∴BQ=3BD=9 ，

∴AQ= = =2 ，

∴C四邊形BNQC=2AQ=4 ．

【解析】（1）根據同底等高的兩個三角形的面積相等即可求出△PAB的面積；（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后證明△ABQ≌△ANQ，進而求出∠BAO=30°，由S四邊形BQNC=2 ，求出OA=3，于是P點坐標求出；（3）分兩類進行討論，當點Q在線段BD上，根據題干條件求出AQ的長，進而求出四邊形的周長，當點Q在線段BD的延長線上，依然根據題干條件求出AQ的長，再進一步求出四邊形的周長．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．