Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為長方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中點，點P在線段BC上運動．

（1）B的坐標為_________；

（2）當∠POD＝30°時，求CP的長；

（3）當△DPO是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) B(10,4);(2);(3) (3，4)或(2，4)或(8，4).

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AB=OC，BC=OA，A點的坐標為（10，0），C點的坐標為（0，4），得到10=4，OC=4，即可得到結論；(2)根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半得出OP=2OC，再利用勾股定理求解即可;(3)因為題中沒有指明△ODP的腰長與底分別是哪個邊，故應該分情況進行分析，從而求得點P的坐標．

解：(1) ∵四邊形OABC為長方形，A(10，0), C(0，4),∴OA=CB=10,OC=AB=4,∴B(10,4);

(2) ∵四邊形OABC為長方形, ∴∠COD=90°, ∵∠POD＝30°, ∴∠COP=60°, ∴∠OPC=30°, ∴OP=2OC,在RT△OCP中，OP-CP=OC=16即(2OC) -CP=16, ∴CP=;

(3) ∵A（10，0），C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵點D是OA的中點，
∴OD=5，

(1)OD是等腰三角形的底邊時，P就是OD的垂直平分線與CB的交點，此時OP=PD≠5；

(2)OD是等腰三角形的一條腰時：若點O是頂角頂點時，P點就是以點O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，

在直角△OPC中，CP==3，，則P的坐標是(3，4)．

若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，過D作DM⊥BC于點M，

在直角△PDM中，PM= =3，

當P在M的左邊時，CP=5-3=2，則P的坐標是(2，4)；

當P在M的右側時，CP=5+3=8，則P的坐標是(8，4)．

故P的坐標為：(3，4)或(2，4)或(8，4)．

故答案為：(3，4)或(2，4)或(8，4)．