Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B=60°．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．

∴∠ODE=90°．

∴DE⊥OD于點D．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：如圖2，連接AD，BF，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠AFB=∠ADB=90°．

∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等邊三角形，

∴ ， ．

∵∠EDC=30°，

∴ ．

∴FE=FC﹣EC=1．

【解析】（1）連接OD，根據等邊三角形的性質求出∠ODE=90°，根據切線的判定定理證明即可；（2）連接AD，BF，根據等邊三角形的性質求出DC、CF，根據直角三角形的性質求出EC，結合圖形計算即可．