Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，AE與BD交于點P，F是CD上一點，連接AF分別交BD，DE于點M，N，且AF⊥DE，連接PN，則以下結論中：①F為CD的中點；②3AM=2DE；③tan∠EAF＝；④；⑤△PMN∽△DPE，正確的結論個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

逐個結論進行判斷：

①證明△ECD≌△FDA（AAS），即可得出結論F為CD的中點；

②根據△ABM和△FDM組成的沙漏模型，利用相似三角形對應線段成比例即可判斷；

③在Rt△ANE中，tan∠EAF＝，在△ADE和△ADF中分別運用面積法求出AN，DN，運用勾股定理求出DE，則EN=DE-EN，據此計算判斷；

④作PH⊥AF于H，通過構造直角三角形，運用相似模型和勾股定理求出PN；

⑤由PN≠DN，推出對應角不相等，即可得出結論．

①F為CD的中點；

∵ABCD是正方形

∴AB=BC=AD=CD=2，∠FDA=∠ECD=90°

∵AF⊥DE

∴∠CDE+∠AFD=90°

又∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠AFD=∠DEC

∴△ECD≌△FDA（AAS）

∴DF=CE

∵E是BC的中點

∴F是CD的中點

故結論①正確；

②3AM=2DE；

∵AB∥DC

∴

∴

由①知：AF=DE

∴3AM=2DE

故結論②正確．

③tan∠EAF＝；

由勾股定理得：

AF=DE=AE=

∵S△ADE=×2×2=××AN

∴AN=

∵S△ADF=×2×1=××DN

∴DN=

∴EN=DE-DN==

∴tan∠EAF==

故結論③正確．

④；

如圖，作PH⊥AN于H

∵AD∥BE

∴

∴

∵FH∥EN

∴

∴AH=，PH=

∴NH=

由勾股定理得：

故結論④正確．

⑤△PMN∽△DPE

∵PN≠DN

∴∠MPN≠∠PDE

∴△PMN與△DPE不相似

故結論⑤錯誤．

所以正確結論為①②③④．

故選：D