Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD=DE．

（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD=CE．
（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數量關系，并證明你的結論：（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F．）
（3）若點D在線段AC的延長線上，（2）中的結論是否仍成立？如果成立，給予證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，

∵D為AC中點，

∴∠DBC=30°，AD=DC，

∵BD=DE，

∴∠E=∠DBC=30°

∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠CDE=30°=∠E，

∴CD=CE，

∵AD=DC，

∴AD=CE；

（2）證明：成立，

如圖2，過D作DF∥BC，交AB于F，

則∠ADF=∠ACB=60°，

∵∠A=60°，

∴△AFD是等邊三角形，

∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，

∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，

∵DF∥BC，

∴∠FDB=∠DBE=∠E，

在△BFD和△DCE中

∴△BFD≌△DCE，

∴CE=DF=AD，

即AD=CE．

（3）證明：（2）中的結論仍成立，

如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△APD也是等邊三角形，

∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，

∵DB=DE，

∴∠DBC=∠DEC，

∵DP∥BC，

∴∠PDB=∠CBD，

∴∠PDB=∠DEC，

在△BPD和△DCE中，

∴△BPD≌△DCE，

∴PD=CE，

∴AD=CE．

【解析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據等腰三角形性質求出AD=DC，即可得出答案；（2）過D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．（3）（2）中的結論仍成立，如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，證明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．