Question

【題目】如圖1，直角坐標系中有一矩形OABC，其中O是坐標原點，點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（3，4），直線交AB于點D，點P是直線位于第一象限上的一點，連接PA，以PA為半徑作⊙P，

（1）連接AC，當點P落在AC上時， 求PA的長；

（2）當⊙P經過點O時，求證：△PAD是等腰三角形；

（3）設點P的橫坐標為m，

①在點P移動的過程中，當⊙P與矩形OABC某一邊的交點恰為該邊的中點時，求所有滿足要求的m值；

②如圖2，記⊙P與直線的兩個交點分別為E，F（點E在點P左下方），當DE，DF滿足時，求m的取值范圍.（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）△PAD是等腰三角形，證明見解析；（3）①， ，2或；②

【解析】試題分析：（1）通過證明△OPC∽△ADP即可求解；

（2）由OP=AP得∠POA=∠PAO，可證∠PDA=∠DAP，故可得△PAD是等腰三角形 ；

（3）分4種情況進行討論即可求解.

試題解析：（1）∵B（3，4）

∴BC=3，AB=4

∵∠B=90°

∴AC=5 ，

∵OC∥AB，

∴△OPC∽△ADP

∴，即

∴

（2）∵⊙P經過點O

∴OP=AP

∴∠POA=∠PAO，

∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，

∴∠PDA=∠DAP

∴△PAD是等腰三角形

（3）①分4種情形討論

ⅰ）交點M是OC中點，PM=PA

則，

ⅱ）交點M是OA中點，PM=PA

∴MG=GA=

∴

ⅲ）交點M是AB中點，PM=PA

∴PG=AM=1

∴PH=2DH=2×=1

∴

ⅳ）交點M是BC中點，PM=PA

則，

②