Question

【題目】如圖，以等腰直角三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1……如此作下去，若OA＝OB＝1.

(1)A1B＝________，S△A1B1A2＝________；

(2)試猜想第n個等腰直角三角形的面積Sn.

Answer 1

【答案】（1）2,4；（2）Sn＝2n－2.

【解析】

本題要先根據已知的條件求出S1、S2的值,然后通過這兩個面積的求解過程得出一般化規律,進而可得出Sn的表達式.

解：(1)2； 4.

∵△AOB是等腰直角三角形，∴AB=，同理A1B=等，所以A1B＝2，S△A1B1A2=4.

(2)∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴AB＝，S1＝×1×1＝＝2－1.∵AA1＝AB＝，∠A1AB＝90°，∴A1B＝2，S2＝××＝1＝20.

∵BB1＝A1B＝2，∠A1BB1＝90°，∴A1B1＝2，S3＝×2×2＝2＝21.

∵A2A1＝A1B1＝2，∠A2A1B1＝90°，∴A2B1＝4，S4＝×2×2＝4＝22.

由此可猜想Sn＝2n－2.