Question

【題目】已知：拋物線 與 軸分別交于點A（-3，0），B（m，0）．將y1向右平移4個單位得到y2 ．
（1）求b的值；
（2）求拋物線y2的表達式；
（3）拋物線y2與 軸交于點D，與 軸交于點E、F（點E在點F的左側），記拋物線在D、F之間的部分為圖象G（包含D、F兩點），若直線 與圖象G有一個公共點，請結合函數圖象，求直線 與拋物線y2的對稱軸交點的縱坐標t的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（-3，0）代入y1=x2+bx+3得：9-3b+3=0，

解得：b=4，

∴y1的表達式為：y=x2+4x+3

（2）解：將y1變形得：y1=（x+2）2-1

據題意y2=（x+2-4）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3；

∴拋物線y2的表達式為y=x2-4x+3

（3）解：∵y2=（x-2）2-1，函數圖像如圖所示：

∴對稱軸是x=2，頂點為（2，-1）；

當y2=0時，x=1或x=3，

∴E（1，0），F（3，0），D（0，3），

∵直線y=kx+k-1過定點（-1，-1），

當直線y=kx+k-1與圖象G有一個公共點時，t=-1，

當直線y=kx+k-1過F（3，0）時，3k+k-1=0，

解得：k= ，

∴直線解析式為y= x- ，

把x=2代入= x- ，得：y=- ，

當直線過D（0，3）時，k-1=3，

解得：k=4，

∴直線解析式為y=4x+3，

把x=2代入y=4x+3得：y=11，即t=11，

∴結合圖象可知t=-1，或 ＜t≤11．

【解析】（1）把點A的坐標代入可求出b的值，即可得到函數解析式；
（2）先把y1的解析式化成頂點式，再根據平移規律可求出；
（3）畫出函數y2的圖象，可求出此函數與x軸、y軸的交點坐標；直線y=kx+k-1過定點（-1，-1），再根據直線y=kx+k-1與圖象G有一個公共點可求出t=-1；再由直線y=kx+k-1過F（3，0）和過D（0，3），分別求出此直線的解析式，從而得出t的值，再結合圖像進而可得出答案.
【考點精析】掌握二次函數圖象的平移和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．