Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx﹣3（a，b是常數）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點P、Q．

（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范圍；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A、點B的坐標代入可得： ，

解得：

（2）

解：拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，直線y=t，

聯立兩解析式可得：x2+2x﹣3=t，即x2+2x﹣（3+t）=0，

∵動直線y=t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點，

∴△=4+4（3+t）＞0，

解得：t＞﹣4

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

當x=0時，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

設點Q的坐標為（m，t），則P（﹣2﹣m，t）．

如圖，設PQ與y軸交于點D，則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，

∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，

∴△QCD∽△CPD，

∴ ，即 ，

整理得：t2+6t+9=m2+2m，

∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m2+2m﹣3，∴m2+2m=t+3，

∴t2+6t+9=t+3，化簡得：t2+5t+6=0

解得t=﹣2或t=﹣3，

當t=﹣3時，動直線y=t經過點C，故不合題意，舍去．

∴t=﹣2

【解析】（1）將點A、點B的坐標代入二次函數解析式可求出a、b的值；（2）根據二次函數及y=t，可得出方程，有兩個交點，可得△＞0，求解t的范圍即可；（3）證明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出t的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．