Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）證明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴△ABE≌△DAF．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∠AGB=30°，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠AGB=30°，

∵∠1+∠4=∠DAB=90°，

∵∠3=∠4，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AFD=180°﹣（∠1+∠3）=90°，

∴DF⊥AG，

∴DF= AD=1，

∴AF= ，

∵△ABE≌△DAF，

∴AE=DF=1，

∴EF= ﹣1．

故所求EF的長為 ﹣1

【解析】（1）根據已知及正方形的性質，利用ASA即可判定△ABE≌△DAF；（2）根據正方形的性質及直角三角形的性質可得到DF的長，根據勾股定理可求得AF的長，從而就不難求得EF的長．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．