Question

【題目】已知：函數y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a為常數)．

(1)若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

(2)若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交于點C，且x2－x1＝2.

①求拋物線的表達式；

②作點A關于y軸的對稱點D，連接BC，DC，求sin ∠DCB的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝0或－或－1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點；（2）①y＝x2－4x＋3；②sin ∠DCB＝ .

【解析】

（1）根據a取值的不同，有三種情形，需要分類討論，避免漏解．
（2）①函數與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0）兩點，則x1，x2，滿足y=0時，方程的根與系數關系．因為x2-x1=2，則可平方，用x1+x2，x1x2表示，則得關于a的方程，可求，并得拋物線解析式．
②已知解析式則可得A，B，C，D坐標，求sin∠DCB，須作垂線構造直角三角形，結論易得．

(1)函數y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a為常數)，若a＝0，則y＝－x＋1，圖象與坐標軸有兩個交點(0，1)，(1，0)；

當a≠0且圖象過原點時，2a＋1＝0，a＝－，有兩個交點(0，0)，(1，0)；

當a≠0且圖象與x軸只有一個交點時，令y＝0，有Δ＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝0，解得a＝－1，

有兩個交點(0，－1)，(1，0)．

綜上得，a＝0或－或－1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點．

(2)①∵拋物線與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，

∴x1，x2為ax2－(3a＋1)x＋2a＋1＝0的兩個根．

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∵x2－x1＝2，

∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4·.

解得a＝－ (開口向上，a＞0，舍去)或a＝1.

∴y＝x2－4x＋3.

②∵拋物線y＝x2－4x＋3與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，與y軸相交于點C，且x1＜x2，

∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)．

∵D為A關于y軸的對稱點，

∴D(－1，0)．

如圖，過點D作DE⊥CB于E.

∵OC＝3，OB＝3，OC⊥OB，

∴△OCB為等腰直角三角形．

∴∠CBO＝45°.

∴△EDB為等腰直角三角形．

∵DB＝4，∴DE＝2.

在Rt△COD中，∵DO＝1，CO＝3，

∴CD＝＝.

∴sin ∠DCB＝＝.